Question

12．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₁=2，$\frac{{S}_{n+1}}{n+1}$-$\frac{{S}_{n}}{n}$=1，（n∈N*）．
（1）判断a₂，a₈，S₄是否为等比数列的连续三项，并说明理由．
（2）设b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{{a}_{n}+1}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）根据等差数列的定义可得{$\frac{{S}_{n}}{n}$}是以2为首项，以1为公差的等差数列，即可求出S_n=n²+n，再求出数列{a_n}的通项公式，再利用等比数列的性质判断即可，
（2）化简b_n=n•（$\frac{1}{2}$）²ⁿ，利用错位相减法即可求出前n项和．

解答 解：（1）a₂，a₈，S₄不是等比数列的连续三项．
理由：∵a₁=2，$\frac{{S}_{n+1}}{n+1}$-$\frac{{S}_{n}}{n}$=1，
∴$\frac{{S}_{1}}{1}$=$\frac{{a}_{1}}{1}$=2，
∴{$\frac{{S}_{n}}{n}$}是以2为首项，以1为公差的等差数列，
∴$\frac{{S}_{n}}{n}$=2+n-1=n+1，
∴S_n=n²+n，
∴S_n-1=（n-1）²+（n-1），
∴a_n=S_n-S_n-1=2n，
当n=1时，成立，
∴a_n=2n，
∴a₂=4，a₈=16，S₄=4²+4=20，
∴a₈²=156≠a₂S₄=160
∴a₂，a₈，S₄不是等比数列的连续三项；
（2）b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{{a}_{n}+1}}$=$\frac{2n}{{2}^{2n+1}}$=n•（$\frac{1}{2}$）²ⁿ，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=1•（$\frac{1}{2}$）²+2•（$\frac{1}{2}$）⁴+3•（$\frac{1}{2}$）⁶+…+n•（$\frac{1}{2}$）²ⁿ，
∴$\frac{1}{4}$T_n=1•（$\frac{1}{2}$）⁴+2•（$\frac{1}{2}$）⁶+3•（$\frac{1}{2}$）⁸+…+n•（$\frac{1}{2}$）²ⁿ⁺²，
∴$\frac{3}{4}$T_n=（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）⁴+（$\frac{1}{2}$）⁶+…+•（$\frac{1}{2}$）²ⁿ-n•（$\frac{1}{2}$）²ⁿ⁺²
=$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{2}^{2n}}）}{1-\frac{1}{4}}$-n•（$\frac{1}{2}$）²ⁿ⁺²=$\frac{1}{3}$-（$\frac{1}{3}$+$\frac{n}{4}$）•（$\frac{1}{2}$）²ⁿ，
∴T_n=$\frac{4}{9}$-$\frac{4+3n}{9}$•（$\frac{1}{2}$）²ⁿ

点评 本题考查了等差数列的定义和数列的递推公式和等比数列的性质，以及错位相减法求和，考查了数学的运算能力，属于中档题