Question

3．设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b²=a²+c²-$\sqrt{3}$ac
（1）求B的大小；
（2）求cosA+sinC的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理求出cosB即可得出B的大小；
（2）用A表示出C，再利用和差公式化简得出cosA+sinC关于A的三角函数，求出A的范围利用正弦函数的性质即可得出答案．

解答 解：（1）∵b²=a²+c²-$\sqrt{3}$ac，∴a²+c²-b²=$\sqrt{3}$ac，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵0$＜B＜\frac{π}{2}$，
∴B=$\frac{π}{6}$．
（2）由（1）知C=$\frac{5π}{6}$-A，
∴cosA+sinC=cosA+sin（$\frac{5π}{6}$-A）=$\frac{3}{2}$cosA+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA=$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{3}$），
∵△ABC为锐角三角形，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜A＜\frac{π}{2}}\\{0＜\frac{5π}{6}-A＜\frac{π}{2}}\end{array}\right.$，解得$\frac{π}{3}＜A＜\frac{π}{2}$．
∴$\frac{2π}{3}＜A+\frac{π}{3}＜\frac{5π}{6}$，∴$\frac{1}{2}$＜sin（A+$\frac{π}{3}$）＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}＜$$\sqrt{3}$sin（A+$\frac{π}{3}$）＜$\frac{3}{2}$，
∴cosA+sinC的取值范围为（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$）．

点评 本题考查了余弦定理，三角函数的恒等变换，正弦函数的图象与性质，属于中档题．