Question

18．如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是AB，PD的中点，且PA=AD．
（Ⅰ）求证：AF∥平面PEC；
（Ⅱ）求证：平面PEC⊥平面PCD．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取PC的中点G，连结FG、EG，AF∥EG又EG?平面PCE，AF?平面PCE，AF∥平面PCE；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得EG∥AF，只需证明AF⊥面PDC，即可得到平面PEC⊥平面PCD．

解答 证明：（Ⅰ）取PC的中点G，连结FG、EG，
∴FG为△CDP的中位线，FG∥CD，FG=$\frac{1}{2}$CD．
∵四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，∴AE∥CD，AE=$\frac{1}{2}$CD．
∴FG=AE，FG∥AE，∴四边形AEGF是平行四边形，
∴AF∥EG又EG?平面PCE，AF?平面PCE，
∴AF∥平面PCE；  
（Ⅱ）∵PA=AD．∴AF⊥PD
PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，
又因为CD⊥AB，AP∩AB=A，∴CD⊥面APD
∴CD⊥AF，且PD∩CD=D，∴AF⊥面PDC
由（Ⅰ）得EG∥AF，∴EG⊥面PDC
又EG?平面PCE，∴平面PEC⊥平面PCD．

点评 本题考查了空间线面平行、面面垂直的判定，属于中档题．