为了响应教育部颁布的.某校计划开设八门研学旅行课程.并对全校学生的选择意向进行调查(调查要求全员参与.每个学生必须从八门课程中选出唯一一门课程)．本次调查结果整理成条形图如下．图中.已知课程A.B.C.D.E为人文类课程.课程F.G.H为自然科学类课程．为进一步研究学生选课意向.结合图表.采取分层抽样方法从全校抽取1%的学生作为研究样本组� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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13．为了响应教育部颁布的《关于推进中小学生研学旅行的意见》，某校计划开设八门研学旅行课程，并对全校学生的选择意向进行调查（调查要求全员参与，每个学生必须从八门课程中选出唯一一门课程）．本次调查结果整理成条形图如下．图中，已知课程A，B，C，D，E为人文类课程，课程F，G，H为自然科学类课程．为进一步研究学生选课意向，结合图表，采取分层抽样方法从全校抽取1%的学生作为研究样本组（以下简称“组M”）．

（Ⅰ）在“组M”中，选择人文类课程和自然科学类课程的人数各有多少？
（Ⅱ）为参加某地举办的自然科学营活动，从“组M”所有选择自然科学类课程的同学中随机抽取4名同学前往，其中选择课程F或课程H的同学参加本次活动，费用为每人1500元，选择课程G的同学参加，费用为每人2000元．
（ⅰ）设随机变量X表示选出的4名同学中选择课程G的人数，求随机变量X的分布列；
（ⅱ）设随机变量Y表示选出的4名同学参加科学营的费用总和，求随机变量Y的期望．

分析（Ⅰ）根据频率分布直方图的性质即可得出．
（Ⅱ）（ⅰ）依题意，随机变量X可取0，1，2．利用“超几何分布列的计算公式与性质”即可得出．
（ⅱ）法1：依题意，随机变量Y=2000X+1500（4-X），可得随机变量Y的数学期望为E（Y）
=6000+500E（X）．
（ⅱ）法2：依题意，随机变量Y可取6000，6500，7000．求出随机变量Y的分布列，进而得出数学期望．

解答解：（Ⅰ）选择人文类课程的人数为（100+200+400+200+300）×1%=12（人）；
选择自然科学类课程的人数为（300+200+300）×1%=8（人）．
（Ⅱ）（ⅰ）依题意，随机变量X可取0，1，2.$p（X=0）=\frac{C_6^4C_2^0}{C_8^4}=\frac{3}{14}$；$p（X=1）=\frac{C_6^3C_2^1}{C_8^4}=\frac{4}{7}$；$p（X=2）=\frac{C_6^2C_2^2}{C_8^4}=\frac{3}{14}$．
故随机变量X的分布列为

X	0	1	2
p	$\frac{3}{14}$	$\frac{4}{7}$	$\frac{3}{14}$

（ⅱ）法1：依题意，随机变量Y=2000X+1500（4-X）=6000+500X，
所以随机变量Y的数学期望为
E（Y）=6000+500E（X）
=6000+500（$0×\frac{3}{14}+1×\frac{4}{7}+2×\frac{3}{14}$）
=6500．
（ⅱ）法2：依题意，随机变量Y可取6000，6500，7000．
所以随机变量Y的分布列为

Y	6000	6500	7000
p	$\frac{3}{14}$	$\frac{4}{7}$	$\frac{3}{14}$

所以随机变量Y的数学期望为
E（Y）=$6000×\frac{3}{14}+6500×\frac{4}{7}+7000×\frac{3}{14}$=6500．

点评本题考查了频率分布直方图的性质、超几何分布列的计算公式与性质、数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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