Question

15．如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，AC=BC=5，AB=6，M是CC₁中点，CC₁=8．
（1）求证：平面AB₁M⊥平面A₁ABB₁；
（2）求平面AB₁M与平面ABC所成二面角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）连结A₁B，交AB₁于点P，取AB的中点N，连结CN，PN，MP，推导出四边形MCNP是平行四边形，从而CN∥MP，进而CC₁⊥CN，由AA₁∥CC₁，知CN⊥AA₁，从而CN⊥平面A₁ABB₁，进而MP⊥平面A₁ABB₁，由此能证明平面AB₁M⊥平面A₁ABB₁．
（2）以N为原点，NA为x轴，CN为y轴，NP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面AB₁M与平面ABC所成二面角的正弦值．

解答 证明：（1）连结A₁B，交AB₁于点P，
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四边形ABB₁A₁是矩形，∴P是A₁B的中点，
取AB的中点N，连结CN，PN，MP，
则NP∥CM，且NP=CM，∴四边形MCNP是平行四边形，
∴CN∥MP，
又AC=BC，∴CN⊥AB，
∵CC₁⊥平面ABC，∴CC₁⊥CN，
又AA₁∥CC₁，∴CN⊥AA₁，
∴CN⊥平面A₁ABB₁，∴MP⊥平面A₁ABB₁，
∵MP?平面AB₁M，∴平面AB₁M⊥平面A₁ABB₁．
解：（2）以N为原点，NA为x轴，CN为y轴，NP为z轴，建立空间直角坐标系，
∵AC=BC=5，AB=6，M是CC₁中点，CC₁=8，
∴A（3，0，0），M（0，-4，4），B₁（-3，0，8），
$\overrightarrow{AM}$=（-3，-4，4），$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（-6，0，8），
设平面AB₁M的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AM}=-3x-4y+4z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=-6x+8z=0}\end{array}\right.$，取x=4，得$\overrightarrow{n}$=（4，0，3），
平面ABC的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
设平面AB₁M与平面ABC所成二面角的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3}{5}$，sinθ=$\sqrt{1-（\frac{3}{5}）^{2}}$=$\frac{4}{5}$．
∴平面AB₁M与平面ABC所成二面角的正弦值为$\frac{4}{5}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的益关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想，函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．