Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），F（c，0）是它的右焦点，经过坐标原点O的直线l与椭圆相交于点A、B且

FA

•

FB

=0，|AB|=2|FA|，则椭圆的离心率为（　　）

• A、

  2

  -1
• B、

  2

  2

• C、

  3

  -1
• D、

  3

  2

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先由向量的数量积为零得：三角形ABF是直角三角形，再结合线段的关系及O为中点，得出△FAO为等边三角形，从而△AFF₁为直角三角形（F₁为椭圆的左焦点），最后在Rt△AFF₁中，利用边之间的关系结合椭圆的定义得到a，c的关系，从而求得椭圆的离心率．

解答： 解：由题意知：

FA

•

FB

=0，则三角形ABF是直角三角形，
∵|AB|=2|FA|，O是AB的中点，
∴△FAO为等边三角形，
则AO=FO，且O为两个焦点的中点，
故△AFF₁为直角三角形（F₁为椭圆的左焦点），
在Rt△AFF₁中，AF=c，FF₁=2c，∴AF₁=

3

c，
∵AF+AF₁=2a，∴c+

3

c=2a，
则椭圆的离心率e=

c

a

=

2

1+ 3

=

3

-1，
故选：C．

点评：本题主要考查椭圆离心率的求法，椭圆的定义，以及向量数量积的应用，在椭圆中一定要熟练掌握a，b，c之间的关系、离心率等基本性质．