Question

(本题满分12分)
已知椭圆的左、右焦点为，过点斜率为正数的直线交两点，且成等差数列。
（Ⅰ）求的离心率；
（Ⅱ）若直线y=kx（k<0）与交于C、D两点，求使四边形ABCD面积S最大时k的值。

Answer 1

（Ⅰ）根据椭圆定义及已知条件，有
|AF₂|＋|AB|＋|BF₂|＝4a，                                                                                           ①
|AF₂|＋|BF₂|＝2|AB|，                                                                                                  ②
|AF₂|²＋|AB|²＝|BF₂|²，                                                                                     ③…3分
由①、②、③，解得|AF₂|＝a，|AB|＝a，|BF₂|＝a，
所以点A为短轴端点，b＝c＝a，Γ的离心率e＝＝．…………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ），Γ的方程为x²＋2y²＝a²．                                          
不妨设C(x₁，y₁)、D(x₂，y₂)（x₁＜x₂），
则C、D坐标满足
由此得x₁＝－，x₂＝．
设C、D两点到直线AB：x－y＋a＝0的距离分别为d₁、d₂，
因C、D两点在直线AB的异侧，则
d₁＋d₂＝＋＝
＝＝＝．………………………8分
∴S＝|AB|( d₁＋d₂)＝·a·＝·．
设t＝1－k，则t＞1，＝＝，
当＝，即k＝－时，最大，进而S有最大值．……………………12分

略