(Ⅰ)写出△OBC的重心G,外心F,垂心H的坐标,并证明G、F、H三点共线;
(Ⅱ)当直线FH与OB平行时,求顶点C的轨迹.
(Ⅰ)解:由△OBC三顶点坐标O(0,0),B(1,0),C(b,c)(c≠0),可求得重心G(),外心F(),垂心H(b,).
当b=时,G、F、H三点的横坐标均为,故三点共线; 当b≠时,设G、H所在直线的斜率为kGH,F、G所在直线的斜率为kFG. 因为, , 所以,kGH=kFG,G、F、H三点共线. 综上可得,G、F、H三点共线. (Ⅱ)解:若FH∥OB,由kFH==0,得 3(b2-b)+c2=0(c≠0,b≠), 配方得3(b-)2+c2=,即 . 即=1(x≠,y≠0). 因此,顶点C的轨迹是中心在(,0),长半轴长为,短半轴长为,且短轴在 x轴上的椭圆,除去(0,0),(1,0),(,),(,-)四点. |
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OA |
OB |
OC |
0 |
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(02年北京卷)(13分)
已知O(0,0),B(1,0),C(b,c)是△OBC的三个顶点.
(Ⅰ)写出△OBC的重心G,外心F,垂心H的坐标,并证明G,F,H三点共线;
(Ⅱ)当直线FH与OB平行时,求顶点C的轨迹.
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(Ⅰ)写出△OBC的重心G,外心F,垂心H的坐标,并证明G,F,H三点共线;
(Ⅱ)当直线FH与OB平行时,求顶点C的轨迹.
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