Question

13．已知函数g（x）=xlnx，设0＜a＜b，证明：0＜g（a）+g（b）-2g（$\frac{a+b}{2}$）＜（b-a）ln2．

Answer 1

分析 通过g（x）=xlnx可知g（a）+g（b）-2g（$\frac{a+b}{2}$）=aln$\frac{2a}{a+b}$+bln$\frac{2b}{a+b}$，利用ln（1+x）＜x（x＞-1，且x≠0）可知aln$\frac{2a}{a+b}$+bln$\frac{2b}{a+b}$＞0；利用放缩法可知aln$\frac{2a}{a+b}$+bln$\frac{2b}{a+b}$＜（b-a）ln2．

解答 证明：∵g（x）=xlnx，
∴g（a）+g（b）-2g（$\frac{a+b}{2}$）=alna+blnb-（a+b）ln$\frac{a+b}{2}$
=aln$\frac{2a}{a+b}$+bln$\frac{2b}{a+b}$，
∵0＜a＜b，
∴$\frac{b-a}{2a}$＞0，-1＜$\frac{a-b}{2b}$＜0，
又∵ln（1+x）＜x（x＞-1，且x≠0），
∴ln$\frac{2a}{a+b}$=-ln（1+$\frac{b-a}{2a}$）＞-$\frac{b-a}{2a}$，
ln$\frac{2b}{a+b}$=-ln（1+$\frac{a-b}{2b}$）＞-$\frac{a-b}{2b}$，
∴aln$\frac{2a}{a+b}$+bln$\frac{2b}{a+b}$＞-$\frac{b-a}{2a}$-$\frac{a-b}{2b}$=0；
又∵$\frac{2a}{a+b}$＜$\frac{a+b}{2b}$，
∴aln$\frac{2a}{a+b}$+bln$\frac{2b}{a+b}$＜aln$\frac{a+b}{2b}$+bln$\frac{2b}{a+b}$
=（b-a）ln$\frac{2b}{a+b}$
＜（b-a）ln2；
综上所述，0＜g（a）+g（b）-2g（$\frac{a+b}{2}$）＜（b-a）ln2．

点评 本题考查不等式的证明，考查放缩法，涉及对数的运算性质，注意解题方法的积累，属于中档题．