Question

已知f（x）=a-

2

2x+1

（a∈R）．
（1）是否存在实数a使函数f（x）为奇函数？
（2）当a=1时，满足f（2-b）+f（1-b）＜0，求b的取值范围．

Answer 1

考点：其他不等式的解法,函数奇偶性的判断

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）由f（0）=0，求得a的值，从而得出结论．
（2）当a=1时，f（x）=1-

2

2x+1

，为奇函数，且是R上的增函数，根据条件可得f（2-b）＜f（b-1），故有2-b＜b-1，由此求得b的范围．

解答： 解：（1）若存在实数a使函数f（x）为奇函数，则f（0）=a-1=0，求得a=1，
故存在实数a=1，使函数f（x）为奇函数．
（2）当a=1时，f（x）=1-

2

2x+1

=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

，为奇函数，且是R上的增函数，根据f（2-b）+f（1-b）＜0，
可得f（2-b）＜-f（1-b）=f（b-1），故有2-b＜b-1，求得 b＞

3

2

．

点评：本题主要求函数的奇偶性的判断和性质，函数的单调性的应用，属于基础题．