Question

【题目】如图所示，在直三棱柱中，平面侧面，且．

（1）求证：；

（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求锐二面角的大小．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】试题分析：（1）取的中点，连接，由已知条件推导出平面，从而得到，由线面垂直得，由此可证明；（2）连接，由（1）可知平面，由已知条件得到即为直线与平面所成的角，即二面角的一个平面角，即可求解二面角的大小．

试题解析：（1）如图，取的中点，连接,因为,所以,

由平面侧面,且平面侧面得平面．

又平面，所以．

因为三棱柱是直三棱柱,则底面．又因为平面,

所以．又，所以侧面，

又侧面，故．

（2）连接，由（1）可知平面,则是在平面内的射影，

所以即为直线与平面所成的角，

因为直线与平面所成的角的正弦值为,所以,

在等腰直角中，且点是中点，所以．

又,所以．过点作于点，连接,

由（1）知平面,则,且,所以平面,

所以,所以即二面角的一个平面角．且直角中，．又,

所以．又因为二面角为锐二面角,

所以．即锐二面角的大小为．