Question

3．已知过点A（$\sqrt{3}$，1）和B（5，12），以x轴正半轴为始边按照逆时针旋转所形成的最小正角分别为α，β．
（1）求sinα和cosβ；    
（2）求sin（2α+β）．

Answer 1

分析 （1）由条件利用任意角的三角函数的定义，求得sinα和cosβ的值．
（2）由条件利用二倍角的三角公式求得sin2α、cos2α的值，再利用两角和的正弦公式求得sin（2α+β）=sin2αcosβ=cos2αsinβ 的值．

解答 解：（1）由三角函数定义知sinα=$\frac{1}{\sqrt{3+1}}$=$\frac{1}{2}$，cosβ=$\frac{5}{\sqrt{25+144}}$=$\frac{5}{13}$．
（2）由于0＜α，β＜$\frac{π}{2}$，∴cosα=$\sqrt{{1-sin}^{2}α}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，sinβ=$\sqrt{{1-sin}^{2}β}$=$\frac{12}{13}$，
∴sin2α=2sinαcosα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，cos2α=2cosα²-1=$\frac{7}{8}$，
∴sin（2α+β）=sin2αcosβ=cos2αsinβ=$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{5}{13}$+$\frac{7}{8}×\frac{12}{13}$=$\frac{5\sqrt{3}+21}{26}$．

点评 本题主要考查任意角的三角函数的定义，二倍角的三角公式，两角和的正弦公式的应用，属于基础题．