Question

如图，已知点，点是上任意一点，线段的垂直平分线交于点，点的轨迹记为曲线.

（1）求曲线的方程；

（2）已知的切线总与曲线有两个交点，当，求的取值范围。

Answer 1

（1）由题意，，

根据椭圆的定义，Q点轨迹是以A、B为焦点的椭圆，且,………………2分

∴曲线C的轨迹方程是.………………4分

（2）先考虑切线的斜率存在的情形. 设切线：，则

     由与⊙O相切得 即  ①……………6分

由，消去得，,

设，，则由韦达定理得

，……………8分

 

②……………………10分

由于满足，对此

结合①式可得…………………………………………12分

最后考虑特殊情况：

当满足的那条切线斜率不存在时，切线方程为

代入椭圆方程可得交点的纵坐标，因，故，得到