Question

已知等比数列{a_n}满足a_n＋1＋a_n＝9·2^n－1，n∈N.

(1)求数列{a_n}的通项公式；

(2)设数列{a_n}的前n项和为S_n，若不等式S_n>ka_n－2对一切n∈N^*恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

 (1)设等比数列{a_n}的公比为q，

∵a_n＋1＋a_n＝9·2^n－1，n∈N^*，∴a₂＋a₁＝9，a₃＋a₂＝18，

∴q＝＝＝2，∴2a₁＋a₁＝9，∴a₁＝3.

∴a_n＝3·2^n－1，n∈N^*.

(2)由(1)知S_n＝＝3(2ⁿ－1)，

∴不等式化为3(2ⁿ－1)>k·3·2^n－1－2，

即k<2－对一切n∈N^*恒成立．

令f(n)＝2－，易知f(n)随n的增大而增大，

∴f(n)_min＝f(1)＝2－＝，∴k<.

∴实数k的取值范围为(－∞，)．