Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，点A(n，)(n∈N^*)总在直线y＝x＋上．

(1)求数列{a_n}的通项公式；

(2)若数列{b_n}满足b_n＝ (n∈N^*)，试问数列{b_n}中是否存在最大项，如果存在，请求出；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

 (1)因为点A(n，)(n∈N)在直线y＝x＋上，

故有＝n＋，即S_n＝n²＋n，

当n≥2时，S_n－1＝(n－1)²＋(n－1)，

所以a_n＝S_n－S_n－1＝n²＋n－[(n－1)²＋(n－1)]＝n＋1(n≥2)．

当n＝1时，a₁＝S₁＝2满足上式，

故数列{a_n}的通项公式为a_n＝n＋1.

(2)由a_n＝n＋1，可知b_n＝

所以，b₂>b₁＝b₃>b₄，

猜想{b_n＋1}递减，即猜想当n≥2时，

考察函数y＝(x>e)，则y′＝，

显然当x>e时，lnx>1，即y′<0，

故y＝

猜想正确，因此，数列{b_n}的最大项是b₂＝.