Question

20．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（-2，2）、B（2，6），一条直线l过点（0，m），且与单位圆x²+y²=1恒相切，若有且只有两个点P满足：
①$\overrightarrow{PA}$$•\overrightarrow{PB}$=-4
②点P到直线l的距离为1
则实数m的取值范围是（-∞，-2）∪（1，+∞）．

Answer 1

分析 设直线l：y=kx+m，由l与单位圆x²+y²=1恒相切，由相切的条件可得k，m的关系式，设P的坐标（a，b），由向量的数量积的坐标表示可得P在圆心为（0，4），半径为2的圆上，再由点到直线的距离公式，设出直线y=kx+t，求得t，m的关系式，由直线y=kx+t与在圆心为（0，4），半径为2的圆相交，解不等式即可得到m的范围．

解答 解：设直线l：y=kx+m，由l与单位圆x²+y²=1恒相切，
可得$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，即1+k²=m²，
设P（a，b），则$\overrightarrow{PA}$=（-2-a，2-b），$\overrightarrow{PB}$=（2-a，6-b），
由①可得（-2-a）（2-a）+（2-b）（6-b）=-4，
化简可得a²+b²-8b+12=0，
即有P在圆心为（0，4），半径为2的圆上，
设到直线l的距离为1的直线为y=kx+t，
可得$\frac{|t-m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，
将1+k²=m²，代入上式，可得|t-m|=|m|，
解得t=0或2m．
当t=0时，由题意可得直线y=kx与圆心为（0，4），半径为2的圆相交，
即有1＜$\frac{4}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$＜2，即为|m|＞2，解得m＞2或m＜-2；
当t=2m时，由题意可得直线y=kx+2m与圆心为（0，4），半径为2的圆相交，
即有$\frac{|2m-4|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$＜2，即为|m|＞|m-2|，解得m＞1．
综上可得m＞1或m＜-2．
故答案为：（-∞，-2）∪（1，+∞）．

点评 本题考查直线和圆的位置关系：相交和相切，同时考查向量的数量积的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．