Question

已知抛物线C的方程为x²=2py，设点M（x₀，1）（x₀＞0）在抛物线C上，且它到抛物线C的准线距离为

5

4

；
（1）求抛物线C的方程；
（2）过点M作倾斜角互补的两条直线分别交抛物线C于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点（M、A、B三点互不相同），求当∠MAB为钝角时，点A的纵坐标y₁的取值范围．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由抛物线的定义，求出p，即可求抛物线C的方程；
（2）设直线AM的方程为：y=k（x-1）+1，与抛物线方程联立，求出k的范围，利用y1=(k-1)2，即可求出点A的纵坐标y₁的取值范围．

解答： 解：（1）由定义得1+

p

2

=

5

4

，则抛物线C的方程：x²=y
（2）设直线AM的方程为：y=k（x-1）+1
联立方程

y=k(x-1)+1 x2=y

得x²-kx+k-1=0，A（k-1，（k-1）²），△₁＞0即k≠2
同理B（-k-1，（-k-1）²），△₂＞0即k≠-2，
令y1=(k-1)2，

AB

AM

＜0
则

AB

AM

=2k(k-2)+4k(2k-k2)=-4k3+10k2-4k＜0
所以k＞2或0＜k＜

1

2

，
所以y1∈(

1

4

，1)∪(1，+∞)

点评：本题考查抛物线的定义与方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．