Question

17．已知函数f（x）=|2x-1|．
（Ⅰ）求不等式f（x）＜|x-1|的解集；
（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）+f（x-1）的最小值为a，且m+n=a（m＞0，n＞0），求$\frac{{m}^{2}+2}{m}$+$\frac{{n}^{2}+1}{n}$的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）不等式即|2x-1|＜|x-1|，平方化简可得x（3x-2）＜0，由此求得x的范围．
（Ⅱ）求出g（x）的最小值，得到m+n=2，根据基本不等式的性质求出$\frac{{m}^{2}+2}{m}$+$\frac{{n}^{2}+1}{n}$的最小值．

解答 解：（Ⅰ）不等式f（x）＜|x-1|，即|2x-1|＜|x-1|，平方化简可得x（3x-2）＜0，
求得0＜x＜$\frac{2}{3}$，故不等式的解集为{x|0＜x＜$\frac{2}{3}$}．
（Ⅱ）函数g（x）=f（x）+f（x-1）=|2x-1|+|2（x-1）-1|=|2x-1|+|2x-3|≥|2x-1-（2x-3）|=2，
当且仅当$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{3}{2}$时，取等号，故g（x）的最小值为a=2，
∴m+n=2≥2$\sqrt{mn}$（m＞0，n＞0），∴mn≤1，$\frac{1}{mn}$≥1，当且仅当m=n=1时，等号成立．
∴$\frac{{m}^{2}+2}{m}$+$\frac{{n}^{2}+1}{n}$=m+$\frac{2}{m}$+n+$\frac{1}{n}$=2+（$\frac{2}{m}$+$\frac{1}{n}$）=2+（$\frac{2m+2n}{m}$+$\frac{m+n}{n}$）=5+$\frac{2n}{m}$+$\frac{m}{n}$≥5+2$\sqrt{2}$，
当且仅当$\frac{2n}{m}$=$\frac{m}{n}$时，等号成立，故求$\frac{{m}^{2}+2}{m}$+$\frac{{n}^{2}+1}{n}$的最小值为5+2$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查了解绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式的应用，考查基本不等式的应用，是一道中档题．