Question

【题目】已知椭圆C： =1的左焦点F1的坐标为（﹣ ，0），F2是它的右焦点，点M是椭圆C上一点，△MF1F2的周长等于4+2 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过定点P（0，2）作直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且OA⊥OB（其中O为坐标原点），求直线l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵椭圆C： =1的左焦点F1的坐标为（﹣ ，0），

F2是它的右焦点，点M是椭圆C上一点，△MF1F2的周长等于4+2 ，

∴ ，

解得a=2，b=1，

∴椭圆C的方程为

（2）解：当直线l的斜率不存在时，不满足题意．

当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx﹣2，A（x1，y1），B（x2，y2），

联立 ，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，

△=（﹣16k）2﹣48（1+4k2）＞0，

由根与系数关系得x1+x2= ，x1x2= ，

∵y1=kx1﹣2，y2=kx2﹣2，

∴y1y2=k2x1x2﹣2k（x1+x2）+4．

∵OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0，

∴（1+k2）x1x2﹣2k（x1+x2）+4=0，

∴ ﹣ +4=0，

解得k=±2，

∴直线l的方程是y=2x﹣2或y=﹣2x﹣2

【解析】（1）由已知得 ，由此能求出椭圆C的方程．（2）当直线l的斜率不存在时，不满足题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx﹣2，联立 ，得（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，由此利用根的判别式、根与系数关系、向量知识，结合已知条件能求出直线l的方程．