Question

11．递增等比数列{a_n}的前n项和为S_n，a₅²=a₁₀，2a_n+5S_n=5S_n+1-2a_n+2．
（1）求a_n；
（2）设b_n=a_n|cos$\frac{nπ}{2}$|，数列{b_n}的前n项和为T_n，若T_n=340，求n的值．

Answer 1

分析 （1）设等比数列{a_n}的公比为q，运用等比数列的通项公式，解方程可得公比，进而得到所求通项公式；
（2）通过对n的奇偶性进行讨论，可知当n为偶数时a_n=2ⁿ、当n为奇数时a_n=0，利用等比数列的求和公式，进而计算可得结论．

解答 解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，
则a₅²=a₁₀，即为a₅²=a₅q⁵，即a₅=q⁵，
2a_n+5S_n=5S_n+1-2a_n+2，可得2a_n=5a_n+1-2a_n+2，
即为2a_n=5qa_n-2q²a_n，即2q²-5q+2=0，
解得q=2或$\frac{1}{2}$，
若q=2，则a₅=32，可得a_n=2ⁿ；
若q=$\frac{1}{2}$，则a₅=$\frac{1}{32}$，可得a_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿ（舍去），
综上可得，a_n=2ⁿ；
（2）当n为偶数时，cos$\frac{nπ}{2}$=±1，∴a_n=2ⁿ，
当n为奇数时，cos$\frac{nπ}{2}$=0，∴a_n=0，
T_n=2²+2⁴+…+2^2m
=4+4²+4³+…+4^m=$\frac{4（1-{4}^{m}）}{1-4}$=340，
解得m=4，可得n=8或9．

点评 本题考查等比数列的通项及前n项和公式的运用，考查特殊角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题．