Question

设向量

a

=(cosα，sinα)，

b

=(cosβ，sinβ)．
（1）求证：(

a

+

b

)⊥(

a

-

b

)；
（2）当β=

2π

3

，α∈[0，π]时，向量

3

a

+

b

与

a

-

3

b

的模相等，求角α；
（3）向量

a

，

b

满足|k

a

+

b

|=

3

|

a

-k

b

|，k＞0，将

a

与

b

的数量积表示为关于k的函数f（k），求f（k）的最小值及取得最小值时

a

与

b

的夹角．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,数量积判断两个平面向量的垂直关系

专题：平面向量及应用

分析：（1）利用向量垂直与数量积的关系、同角三角函数基本关系式即可得出；
（2）利用向量的坐标运算、模的计算公式、同角三角函数基本关系式即可得出．
（3）利用数量积运算性质、向量夹角公式即可得出．

解答： （1）证明：∵向量

a

=(cosα，sinα)，

b

=(cosβ，sinβ)．
∴

a

+

b

=（cosα+cosβ，sinα+sinβ），

a

-

b

=（cosα-cosβ，sinα-sinβ），
∴(

a

+

b

)•(

a

-

b

)=（cos²α-cos²β）+（sin²α-sin²β）=1-1=0，
∴(

a

+

b

)⊥(

a

-

b

)；
（2）

3

a

+

b

=(

3

cosα+cosβ，

3

sinα+sinβ)，

a

-

3

b

=(cosα-

3

cosβ，sinα-

3

sinβ)．
∵向量

3

a

+

b

与

a

-

3

b

的模相等，
∴

( 3 cosα+cosβ)2+( 3 sinα+sinβ)2

=

(cosα- 3 cosβ)2+(sinα- 3 sinβ)2

，
化为cos（α-β）=0，
∵β=

2π

3

，α∈[0，π]时，
∴-

2π

3

≤α-β=

π

3

，
∴α-β=-

π

2

，
解得α=

π

6

．
（3）∵|k

a

+

b

|=

3

|

a

-k

b

|，|

a

|=|

b

|=1．
∴

k2 a 2+ b 2+2k a • b

=

3

a 2+k2 b 2-2k a • b

，
又k＞0，
化为

a

•

b

=

k2+1

4k

=f（k）．
∴f(k)≥

2k

4k

=

1

2

，当且仅当k=1时取等号．
∴cos＜

a

，

b

＞=

a • b

| a || b |

=

1

2

，
∴＜

a

，

b

＞=

π

3

．

点评：本题考查了向量垂直与数量积的关系、同角三角函数基本关系式、向量的坐标运算、模的计算公式、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．