Question

如图，在四棱锥中，底面是平行四边形， 平面，点分别为的中点，且，，．

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正切值．

Answer 1

解：（Ⅰ）证明：取中点，连结，．

为中点，，

又为中点，底面为平行四边形，

．

，即为平行四边形，    

∴

平面，且平面，

平面．      ……………………………………………6分

（其它证法酌情给分）

（Ⅱ）方法一：

             平面，平面，平面平面，

过作，则平面，连结．

则为直线与平面所成的角， 

由，，，得，

由，得，

在中，，得．

在中，，

,

直线与平面所成角的正切值为． ……………………12分

方法二：

平面，，，

又，，，

，．      

如图，分别以为轴，轴，轴，

建立空间直角坐标系，

则，，

，，

，，

，

设平面的一个法向量为，则

由，令得，  

设与平面所成的角为，则

，

与平面所成角的正切值为．………………………12分