Question

已知函数f（x）=a^x-a+1（a＞0且a≠1），恒过定点（2，2）．
（1）求实数a；
（2）在（1）的条件下，将函数f（x）的图象向下平移1个单位，再向左平移a个单位后得到函数g（x），设函数g（x）的反函数为h（x），直接写出h（x）的解析式；
（3）对于定义在（0，4）上的函数y=h（x），若在其定义域内，不等式[h（x）+2]²＞h（x）m-1恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由于函数f（x）=a^x-a+1（a＞0且a≠1）恒过定点（2，2）．可得a^2-a+1=2，解出即可．
（2）利用平移变换的法则“左加右减，上加下减”即可得出g（x）=2^x，再利用同底的指数函数和对数函数互为反函数，即可得出．
（3）(log2x+2)2＞mlog2x-1在（0，4）恒成立，设t=log₂x（0＜x＜4）且t＜2，可得（t+2）²＞tm-1即：t²+（4-m）t+5＞0，在t＜2时恒成立．
令g（t）=t²+（4-m）t+5，利用二次函数的图象与性质可得

m-2 2 ≤2 △=(4-m)2-20＜0

，或

m-2 2 ＞2 g(2)=17-2m≥0

解出即可．

解答：解：（1）∵函数f（x）=a^x-a+1（a＞0且a≠1），恒过定点（2，2）．
∴a^2-a+1=2，化为a^2-a=1．
∴2-a=0，解得a=2．
（2）∵f（x）=2^x-2+1，将函数f（x）的图象向下平移1个单位，得到y=2^x-2，再向左平移2个单位后得到函数g（x）=2^x，
∴g（x）=2^x
∴h（x）=log₂x（x＞0）．
（3）∵(log2x+2)2＞mlog2x-1在（0，4）恒成立，
∴设t=log₂x（0＜x＜4）且t＜2，可得（t+2）²＞tm-1即：t²+（4-m）t+5＞0，在t＜2时恒成立．
令g（t）=t²+（4-m）t+5，
∴

m-2 2 ≤2 △=(4-m)2-20＜0

，或

m-2 2 ＞2 g(2)=17-2m≥0

解得4-2

5

＜m≤8．或8＜m≤

17

2

．
综上可得：m的取值是4-2

5

＜m≤

17

2

．

点评：本题综合考查了指数函数与对数函数的性质、平移变换、换元法、二次函数的图象与性质等基础知识与基本技能方法，属于难题．