Question

已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F₁、F₂，离心率为3，直线y＝2与C的两个交点间的距离为.

(1)求a，b；

(2)设过F₂的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，且|AF₁|＝|BF₁|，证明：|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等比数列．

Answer 1

 (1)解析：由题设知＝3，即＝9，故b²＝8a².

所以C的方程为8x²－y²＝8a².

将y＝2代入上式，求得x＝±.

由题设知，2＝，解得a²＝1.

所以a＝1，b＝2.

(2)证明：由(1)知，F₁(－3,0)，F₂(3,0)，C的方程为8x²－y²＝8.①

由题意可设l的方程为y＝k(x－3)，|k|＜2 ，代入①并化简得

(k²－8)x²－6k²x＋9k²＋8＝0.

设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则

x₁≤－1，x₂≥1，

由|AF₁|＝|BF₁|得－(3x₁＋1)＝3x₂＋1，即x₁＋x₂＝－.

故＝－，解得k²＝，从而x₁x₂＝－.

由于|AF₂|＝＝1－3x₁，

|BF₂|＝＝＝3x₂－1，

故|AB|＝|AF₂|－|BF₂|＝2－3(x₁＋x₂)＝4，

|AF₂|·|BF₂|＝3(x₁＋x₂)－9x₁x₂－1＝16.

因而|AF₂|·|BF₂|＝|AB|²，

所以|AF₂|，|AB|，|BF₂|成等比数列．