Question

16．已知函数f（x）=xlnx-a（x-1）²-x+1，a∈R．
（1）当a=0时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）若对任意x∈（1，+∞），f（x）＜0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=0时，化简f（x）求出导数f'（x），求出切点坐标与斜率，然后求解曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．
（2）由题 f'（x）=lnx-2a（x-1），x∈（1，+∞）．令g（x）=f'（x），求出导函数．①当a≤0时，②当a＞0时，（i）若$\frac{1}{2a}≤1$．（ii）若$\frac{1}{2a}＞1$，分别求解函数的单调性与判断求解即可．

解答 解：（1）当a=0时，f（x）=xlnx-x+1，则f（1）=0，f'（x）=lnx，∴f'（1）=0，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=0．
（2）由题 f'（x）=lnx-2a（x-1），x∈（1，+∞）．
令g（x）=f'（x），则$g'（x）=\frac{1-2ax}{x}$．
①当a≤0时，在x＞1时，g'（1）＞0，从而g（x）＞g（1）=0，∴f（x）在（1，+∞）上单调递增，
∴f（x）＞f（1）=0，不合题意．
②当a＞0时，令g'（x）=0，可解得$x=\frac{1}{2a}$．
（i）若$\frac{1}{2a}≤1$，即$a≥\frac{1}{2}$，在x＞1时，g'（x）＜0，∴g（x）＜g（1）＜0，
∴f（x）在（1，+∞）上为减函数，∴f（x）＜f（1）=0符合题意．
（ii）若$\frac{1}{2a}＞1$，即$0＜a＜\frac{1}{2}$，
当$x∈（{1，\frac{1}{2a}}）$时，g'（x）＞0，∴f（x）在$（{1，\frac{1}{2a}}）$时，g（x）＞g（1）=0，
∴f（x）在$（{1，\frac{1}{2a}}）$上单调递增，从而$x∈（{1，\frac{1}{2a}}）$时，f（x）＞f（1）＞0不合题意．
综上所述，若f（x）＜0对x∈（1，+∞）恒成立，则$a≥\frac{1}{2}$．

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值，考查转化思想以及分类讨论思想的应用，考查计算能力．