Question

1．已知函数f（x）=2sinxcosx-$\sqrt{3}cos2x（{x∈R}）$．
（1）若f（a）=$\frac{1}{2}$且$a∈（{\frac{5π}{12}，\frac{2π}{3}}）$，求cos2a；
（2）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（3）记函数f（x）在$x∈[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$上的最大值为b，且函数f（x）在[aπ，bπ]（a＜b）上单调递增，求实数a的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，通过方程转化求解cos2a．
（2）求出函数的导数，切线的斜率，切点坐标，然后求解切线方程．
（3）利用三角函数的最值求得b，利用函数的单调区间求解实数a的最小值．

解答 解：（1）$f（x）=sin2x-\sqrt{3}cos2x=2sin（{2x-\frac{π}{3}}）$，…（1分）
∵$f（α）=\frac{1}{2}$，∴$sin（{2α-\frac{π}{3}}）=\frac{1}{4}$，
∵$α∈（{\frac{5π}{12}，\frac{2π}{3}}）$，∴$2α-\frac{π}{3}∈（{\frac{π}{2}，π}）$，
∴$cos（{2α-\frac{π}{3}}）=-\frac{{\sqrt{15}}}{4}$．…（3分）
∴$cos2α=cos（{2α-\frac{π}{3}+\frac{π}{3}}）=-\frac{{\sqrt{15}}}{4}×\frac{1}{2}-\frac{1}{4}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=-\frac{{\sqrt{3}+\sqrt{15}}}{8}$．…（4分）
（2）∵$f'（x）=4cos（{2x-\frac{π}{3}}）$，∴f'（0）=2，又$f（0）=-\sqrt{3}$，
∴所求切线方程为$y=2x-\sqrt{3}$…（7分）
（3）当$x∈[{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}]$时，$2x-\frac{π}{3}∈[{\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}}]$，f（x）∈[1，2]，
∴b=2．…（9分）
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{3}≤\frac{π}{2}+2kπ$得$-\frac{π}{12}+kπ≤x≤\frac{5π}{12}+kπ（{k∈Z}）$．…（10分）
又函数f（x）在[aπ，2π]（a＜2）上单调递增，
∴$[{aπ，2π}]⊆[{-\frac{π}{12}+2π，\frac{5π}{12}+2π}]$，
∴$-\frac{π}{12}+2π≤aπ≤2π$，
∴${a_{min}}=\frac{23}{12}$．…（12分）

点评 本题考查三角函数化简求值，切线方程的求法，三角函数的最值以及单调区间的应用，考查转化思想以及计算能力．