Question

4．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）单调递增．若实数a满足f（log₂a）+f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$a）＜2f（1），则a的取值范围（　　）

• A． [1，2]
• B． （0，$\frac{1}{2}$]
• C． （$\frac{1}{2}$，2）
• D． （0，2]

Answer 1

分析 函数f（x）在区间[0，+∞）单调递增且为偶函数，f（log₂a）+f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$a）＜2f（1）等价转化为f（|log₂a|）＜f（1）；

解答 解：∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，
∴f（log₂a）+f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$a）＜2f（1）⇒f（log₂a）＜f（1）；
∵函数f（x）在区间[0，+∞）单调递增，且为偶函数，
∴f（log₂a）＜f（1）⇒f（|log₂a|）＜f（1）；
所以，-1＜log₂a＜1?$\frac{1}{2}$＜a＜2；
故选：C．

点评 本题主要考查了函数的单调性、奇偶性、对数基本运算以及转化思想应用，属中等题．