Question

【题目】如图，某沿海地区计划铺设一条电缆联通A，B两地，A地位于东西方向的直线MN上的陆地处，B地位于海上一个灯塔处，在A地用测角器测得，在A地正西方向4km的点C处，用测角器测得.拟定铺设方案如下：在岸MN上选一点P，先沿线段AP在地下铺设，再沿线段PB在水下铺设.预算地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元/km和4万元/km，设，，铺设电缆的总费用为万元.

（1）求函数的解析式；

（2）试问点P选在何处时，铺设的总费用最少，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1），其中（2）当点P选在距离A地处时，铺设的总费用最少，详见解析.

【解析】

（1）过B作MN的垂线，垂足为D，根据题中条件，得到，，由，得到，，，进而得到，化简即可得出结果；

（2）根据（1）的结果，先设，，对求导，用导数的方法研究其单调性，即可求出最值.

（1）过B作MN的垂线，垂足为D.

在中，，则.

在中，，

所以.

因为，所以，

所以.

由，则，.

由，得.

所以，

即，其中.

（2）设，，

则.

令，得，所以.

列表如下：

		0
h(θ)	↘	极小值	↗

所以当时，取得最小值，

所以取得最小值，此时.

答：当点P选在距离A地处时，铺设的总费用最少，且为万元.