Question

7．一中食堂有一个面食窗口，假设学生买饭所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往学生买饭所需的时间统计结果如下：

买饭时间（分）	1	2	3	4	5
频率	0.1	0.4	0.3	0.1	0.1

从第一个学生开始买饭时计时．
（Ⅰ）估计第三个学生恰好等待4分钟开始买饭的概率；
（Ⅱ）X表示至第2分钟末已买完饭的人数，求X的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设Y表示学生买饭所需的时间，用频率估计概率，求出Y的分布列，由此能估计第三个学生恰好等待4分钟开始买饭的概率．
（Ⅱ）X所有可能的取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及数学期望．

解答 解：（Ⅰ）设Y表示学生买饭所需的时间，用频率估计概率，得Y的分布列如下：

Y	1	2	3	4	5
P	0.1	0.4	0.3	0.1	0.1

（1）A表示事件“第三个学生恰好等待4分钟开始买饭”，则事件A对应三种情形：
①第一个学生买饭所需的时间为1分钟，且第二个学生买饭所需的时间为3分钟；
②第一个学生买饭所需的时间为3分钟，且第二个学生买饭所需的时间为1分钟；
③第一个和第二个学生买饭所需的时间均为2分钟．
所以P（A）=P（Y=1）P（Y=3）+P（Y=3）P（Y=1）+P（Y=2）P（Y=2）=0.1×0.3+0.3×0.1+0.4×0.4=0.22．
（Ⅱ）X所有可能的取值为0，1，2，
X=0对应第一个学生买饭所需的时间超过2分钟，
所以P（X=0）=P（Y＞2）=0.5，
X=1对应第一个学生买饭所需的时间为1分钟且第二个学生买饭所需的时间超过1分钟，或第一个学生买饭所需的时间为2分钟．
所以P（X=1）=P（Y=1）P（Y＞1）+P（Y=2）=0.1×0.9+0.4=0.49，
X=2对应两个学生买饭所需时间均为1分钟，
所以P（X=2）=P（Y=1）P（Y=1）=0.1×0.1=0.01，
所以X的分布列为：

X	0	1	2
P	0.5	0.49	0.01

EX=0×0.5+1×0.49+2×0.01=0.51．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意概率分布列的性质的合理运用．