Question

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x²+2x，若存在实数a，b（0＜a＜b），使f（x）在[a，b]上的值域是[

1

b

，

1

a

]．则b-a的最小值是（　　）

• A、

  1- 5

  2

• B、

  5 -1

  2

• C、

  -3+ 5

  2

• D、

  3+ 5

  2

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：先由奇函数的性质和题意，求得x＞0时f（x）的解析式，对于正实数a、b，分三种情况讨论：①、当a＜1＜b时，②、当a＜b＜1时，③、当1≤a＜b时，结合二次函数的性质，分析可得a、b的值，将其相减可得答案．

解答： 解：设x＞0，则-x＜0，
代入当x＜0时f（x）=x²+2x，得f（-x）=-2x+x²，
又y=f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（-x）=-f（x），
则x＞0时，f（x）=2x-x²，且对称轴x=1，
所以，对于a、b分三种情况讨论：
①、当0＜a＜1＜b时，f（x）=2x-x²的最大值为1，得

1

a

=1，
即a=1，不合题意，舍去，
②、当0＜a＜b＜1时，f（a）＜1，f（b）＜1且在[a，b]上单调增，
而

1

a

＞1，不合题意，舍去，
③、当1≤a＜b时，f（x）在[a，b]上单调减，
可得

f(a)= 1 a f(b)= 1 b

，解得a=1，b=

1+ 5

2

，
则b-a=

5 -1

2

，
故选：B．

点评：本题考查了函数的奇偶性与单调性，函数的解析式求法，二次函数的性质，考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．