Question

19．A、B、C为△ABC的三个内角，且其对边分别为a、b、c，若$\overrightarrow m$=（-cos$\frac{A}{2}$，sin$\frac{A}{2}$），$\overrightarrow n$=（cos$\frac{A}{2}$，sin$\frac{A}{2}$），且$\overrightarrow m•\overrightarrow n$=$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=2$\sqrt{3}$且b+c=4，求此三角形的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由向量和三角函数运算可得cosA，可得角A；
（Ⅱ）由余弦定理可得bc的方程，结合b+c=4可解得b和c，代入三角形的面积公式可得．

解答 解：（Ⅰ）∵$\overrightarrow m$=（-cos$\frac{A}{2}$，sin$\frac{A}{2}$），$\overrightarrow n$=（cos$\frac{A}{2}$，sin$\frac{A}{2}$），且$\overrightarrow m•\overrightarrow n$=$\frac{1}{2}$．
∴$\overrightarrow m•\overrightarrow n$=-cos²$\frac{A}{2}$+sin²$\frac{A}{2}$=-cosA=$\frac{1}{2}$，∴cosA=-$\frac{1}{2}$，
又∵A∈（0°，180°），∴A=120°；
（Ⅱ）由余弦定理得a²=b²+c²-2bccos120°即b²+c²+bc=12，
又∵b+c=4，∴联立方程$\left\{\begin{array}{l}{b^2}+{c^2}+bc=12\\ b+c=4\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}b=2\\ c=2\end{array}\right.$，∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsin120°=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查正余弦定理解三角形，涉及向量的知识和三角形的面积公式，属基础题．