Question

已知函数f（x）对任意x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）-1，且当x＞0时，f（x）＞1，若关于x的不等式f（x²-ax+b）＜1的解集为{x|-3＜x＜2}，则a+b=

 

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Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：令x=y=0，得到f（0）=1，令y=-x，得到f（-x）=2-f（x），令x₁＜x₂，根据条件x＞0时，f（x）＞1，以及前面的结论，得到f（x₂）＞f（x₁），则f（x）在R上为增函数．将不等式f（x²-ax+b）＜1的解集为{x|-3＜x＜2}，转化为方程x²-ax+b=0的两根为-3，2，由韦达定理，即可求出a，b．从而得到a-b．

解答： 解：令x=y=0，则f（0）=2f（0）-1，即f（0）=1，
令y=-x，则f（0）=f（x）+f（-x）-1，即f（-x）=2-f（x），
令x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，则f（x₂-x₁）＞1，
由f（x+y）=f（x）+f（y）-1，得f（x₂）+f（-x₁）-1＞1，
即f（x₂）+2-f（x₁）-1＞1，
即f（x₂）＞f（x₁），∴f（x）在R上为增函数．
∴f（x²-ax+b）＜1即f（x²-ax+b）＜f（0），即x²-ax+b＜0，
又f（x²-ax+b）＜1的解集为{x|-3＜x＜2}，
∴-3，2为方程x²-ax+b=0的两根，
即有a=-3+2=-1，b=-3×2=-6，a+b=-7．
故答案为：-7．

点评：本题考查函数的性质：单调性和运用，考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，同时考查方程与不等式的转化，是一道综合题．