Question

8．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，不等式${x^2}cosC+2xsinC+\frac{3}{2}≥0$对一切实数x恒成立．
（1）求cosC的取值范围；
（2）当∠C取最大值，且△ABC的周长为9时，求△ABC面积的最大值，并指出面积取最大值时△ABC的形状．

Answer 1

分析 （1）由已知条件及二次函数的性质得cosC＞0，且2cos²C+3cosC-2≥0，由此解得cosC的值． 
（2）根据角C的范围可得当∠C取最大值时∠C=$\frac{π}{3}$，由余弦定理和基本不等式求得ab≤9，从而得到△ABC面积的最大值，根据不等式中等号成立条件判断△ABC的形状．

解答 解：（1）当cosC=0时，sinC=1，
原不等式即为$2x+\frac{3}{2}≥0$对一切实数x不恒成立，
当cosC≠0时，应有$\left\{\begin{array}{l}cosC＞0\\△=4{sin^2}C-6cosC≤0\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}cosC＞0\\ 2{cos^2}C+3cosC-2≥0\end{array}\right.$，
解得$cosC≥\frac{1}{2}$或cosC≤-2（舍去），
∵0＜C＜π，
∴$\frac{1}{2}≤cosC＜1$．
（2）∵0＜C＜π，$\frac{1}{2}≤cosC＜1$，
∴∠C的最大值为$\frac{π}{3}$．
此时$c=\sqrt{{a^2}+{b^2}-2abcos\frac{π}{3}}=\sqrt{{a^2}+{b^2}-ab}$，
∴$9=a+b+c=a+b+\sqrt{{a^2}+{b^2}-ab}≥2\sqrt{ab}+\sqrt{2ab-ab}=3\sqrt{ab}$，
∴ab≤9（当且仅当a=b时取等号）．
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absin\frac{π}{3}≤\frac{{9\sqrt{3}}}{4}$（当且仅当a=b时取等号）．
此时，△ABC面积的最大值为$\frac{{9\sqrt{3}}}{4}$，△ABC为等边三角形．

点评 本题考查同角三角函数的基本关系的应用，一元二次不等式的解法，余弦定理、基本不等式的得应用，考查了转化思想，求出角C的最大值是解题的关键，属于中档题．