Question

18．设f（x） 为定义在R上的偶函数，当0≤x≤2时，y=x；当x＞2时，y=f（x）的图象是顶点在P（3，4），且过点A（2，2）的抛物线的一部分．
（1）求函数f（x） 在（-∞，2）上的解析式，并写出函数f（x）的值域和单调区间；（值域和单调区间直接写，不用给予证明）
（2）若f（x）＜log${\;}_{\frac{1}{2}}$k+2 对x∈R恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由抛物线的顶点坐标方程设y=a（x-3）²+4，将（2，2）代入即可求得a的值，根据偶函数的对称性当x＜-2时，f（x）=f（-x），求得f（x）的解析式，并求得当-2≤x≤0，f（x）=-x，绘制f（x）的大致图象，求得函数f（x）的解析式，根据图象求得函数f（x）的值域和单调区间；
（2）f（x）＜log${\;}_{\frac{1}{2}}$k+2 根据函数的最大值为4，将其转化成log${\;}_{\frac{1}{2}}$k＞2，根据对数函数的性质，即可求得k的取值范围．

解答 解：（1）当x＞2时，设顶点为P（3，4），
且过点A（2，2）的抛物线的方程为y=a（x-3）²+4，
将（2，2）代入可得a=-2，
∴y=-2（x-3）²+4，
∴当0≤x≤2，y=x，
f（x） 为定义在R上的偶函数，
当0≤x≤2，f（x）=x，
∴-2≤x≤0，f（x）=-x，
当x＜-2时，
∴f（x）=f（-x）=-2×（-x）²-12x-14，
即f（x）=-2x²-12x-14．
∴函数f（x）在（-∞，2）上的解析式为f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-2{x}^{2}-12x-14}&{x＜-2}\\{-x}&{-2≤x≤0}\\{x}&{0＜x≤2}\end{array}\right.$．
函数f（x）的草图：

值域（-∞，4]，单调递增区间（-∞，-3]，[0，3]，递减区间[-3，0]，[3，+∞）；
（2）f（x）＜log${\;}_{\frac{1}{2}}$k+2 对x∈R恒成立，由函数f（x）的最大值为4，
即4＜log${\;}_{\frac{1}{2}}$k+2，即log${\;}_{\frac{1}{2}}$k＞2，
由对数函数的单调性解得：0＜k＜$\frac{1}{4}$，
k的取值范围0＜k＜$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查二次函数的图象及性质，考查求分段函数的解析式及图象的方法，根据函数图象求函数单调性及最值，考查不等式恒成问题，属于中档题．