Question

6．已知关于x的方程4x²+4（k+2）x+（2k²+2k+1）=0的两实根为α，β，则（α+1）（β+1）的取值范围是[-$\frac{7}{8}$，$\frac{9}{4}$]．

Answer 1

分析 根据方程有实数根得出k的取值范围，利用韦达定理得出表达式（α+1）（β+1）=αβ+α+β+1=$\frac{1}{2}$（k-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{7}{8}$，利用二次函数的性质求出范围．

解答 解：∵方程4x²+4（k+2）x+（2k²+2k+1）=0的两实根为α，β，
∴△=-16（k²-2k-3）≥0，
∴-1≤k≤3，
∵α+β=-k-2，αβ=$\frac{1}{2}$k²$+\frac{1}{2}$k$+\frac{1}{4}$，
（α+1）（β+1）=αβ+α+β+1
=$\frac{1}{2}$（k-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{7}{8}$，
∴最小值为-$\frac{7}{8}$，最大值为$\frac{9}{4}$，
故答案为[-$\frac{7}{8}$，$\frac{9}{4}$]．

点评 考查了判别式，韦达定理和二次函数的性质，属于基础题型，应熟练掌握．