Question

19．求解下列关于x的不等式：（1）x²-2x+a≤0；（2）2x²-ax+2a＜0．

Answer 1

分析 （1）△=4-4a，对△与0的大小关系，解出相应的一元二次方程的实数根，进而得出一元二次不等式的解集．
（2）△=a²-16a，对△与0的大小关系，解出相应的一元二次方程的实数根，进而得出一元二次不等式的解集．

解答 解：（1）△=4-4a，
①由△=0，解得a=1，x²-2x+1≤0，即（x-1）²≤0，解得x=1，
∴不等式的解集为{1}．
②由△＜0，解得a＞1，不等式的解集为∅．
③由△＞0，解得a＜1，方程x²-2x+a=0，解得x=$\frac{2±2\sqrt{1-a}}{2}$=1$±\sqrt{1-a}$，
∴不等式的解集为{x|$1-\sqrt{1-a}$≤x≤1+$\sqrt{1-a}$}．
综上可得：①a=1，不等式的解集为{1}．
②a＞1，不等式的解集为∅．
③a＜1，不等式的解集为{x|$1-\sqrt{1-a}$≤x≤1+$\sqrt{1-a}$}．
（2）△=a²-16a，
①由△=0，解得a=0或16，
a=0时，不等式化为：2x²＜0，不等式的解集为∅．
a=16时，不等式化为：（x-4）²＜0，不等式的解集为∅．
②由△＜0，解得0＜a＜16，不等式的解集为∅．
③由△＞0，解得a＜0或a＞16，方程2x²-ax+2a=0，
解得x=$\frac{a±\sqrt{{a}^{2}-16a}}{4}$，不等式的解集为{x|$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-16a}}{4}$＜x＜$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-16a}}{4}$}．
综上可得：①a=0或16，不等式的解集为∅．
②0＜a＜16，不等式的解集为∅．
③a＜0或a＞16，不等式的解集为{x|$\frac{a-\sqrt{{a}^{2}-16a}}{4}$＜x＜$\frac{a+\sqrt{{a}^{2}-16a}}{4}$}．

点评 本题考查了一元二次不等式的解法、一元二次方程的实数根与判别式的关系，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．