Question

7．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₂=2，S₁₁=66．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，求证：b₁+b₂+…+b_n＜1．

Answer 1

分析 （1）通过S₁₁=66可知a₆=6，结合a₂=2可知公差d=1，进而可得结论；
（2）通过（1）裂项、并项相加即得结论．

解答 （1）解：∵S₁₁=11a₆=66，∴a₆=6，
设公差为d，则a₆-a₂=4d=4，即d=1，
∴a_n=a₂+（n-2）d=2+（n-2）×1=n；
（2）证明：由（1）得：${b_n}=\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴${b_1}+{b_2}+…+{b_n}=（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+…+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）=1-\frac{1}{n+1}$，
∴b₁+b₂+…+b_n＜1．

点评 本题是一道关于数列与不等式的综合题，考查裂项相消法，注意解题方法的积累，属于中档题．