Question

（本题满分15分）如图，在半径为的半圆形（O为圆心）铁皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上，将所截得的矩形铁皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），记圆柱形罐子的体积为．

（1）按下列要求建立函数关系式：

①设，将表示为的函数；

②设（），将表示为的函数；

（2）请您选用（1）问中的一个函数关系，求圆柱形罐子的最大体积．

Answer 1

（1）①，（）

②，（）

（2）

【解析】

试题分析：（1）要将实际问题转化为函数问题，根据题意构建数学模型，利用直角三角形 求底面圆的半径 ，进而列出函数关系式（2）求体积的最大值转化为求函数的最大值，先求导，再判断单调性，再求最值。

试题解析：【解析】
（1）①，，

，（） 4分

②，，

，（） 8分

（2）选用：，，

令 ，则 10分

列表得：

	单调增	极大值	单调减

（不列表，利用导函数的符号，判断出单调性同样得分）

选用：令，

，

令 ，则 10分

列表得：

	单调增	极大值	单调减

，即 15分

（对直接求导求解也得分，）

答：圆柱形罐子的最大体积为．

考点：导数在实际问题中的应用