Question

18．已知正实数a、b满足a²+b+3=ab，则a+b的最小值为3+4$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 将a²+b+3=ab化为（2a-2）（b-a-1）=8，再利用基本不等式，求解不等式即可求得a+b的取值范围，从而得到a+b的最小值．

解答 解：由a²+b+3=ab得a²-2a+1-b（a-1）+2（a-1）=-4，
即（a-1）²-b（a-1）+2（a-1）=-4，
∴（a-1）（a-1-b+2）=-4
∴（2a-2）（b-a-1）=8，
∴8=（2a-2）（b-a-1）≤$（\frac{2a-2+b-a+1}{2}）^{2}$=$（\frac{a+b-3}{2}）^{2}$
解得a+b≥3+4$\sqrt{2}$，取等号的条件是2a-2=b-a-1且（2a-2）（b-a-1）=8，解得a=$\sqrt{2}$-1，b=3$\sqrt{2}$，
∴a+b的最小值为3+4$\sqrt{2}$．
故答案为：3+4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了基本不等式在最值问题中的应用．在应用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的判断．运用基本不等式解题的关键是寻找和为定值或者是积为定值，难点在于如何合理正确的构造出定值．属于中档题