Question

5．已知等差数列{a_n}和等比数列{b_n}的公差和公比都等于d（d≠1），且a₁=b₁，a₂=2b₂，a₃=3b₃．
（I）求a_n和b_n；
（Ⅱ）设t_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n，求数列{t_n}的最大项．

Answer 1

分析 （I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（II）a_nb_n=（4-n）$•（\frac{1}{3}）^{n}$．由a_nb_n≥0，解得n≤4．可得数列{t_n}的最大项为t₃或t₄．

解答 解：（I）∵等差数列{a_n}和等比数列{b_n}的公差和公比都等于d（d≠1），且a₁=b₁，a₂=2b₂，a₃=3b₃．
∴a₁+d=2a₁d，a₁+2d=3${a}_{1}{d}^{2}$，化为3d²-4d+1=0．
解得a₁=-1，d=$\frac{1}{3}$．
∴a_n=$-1+\frac{1}{3}（n-1）$=$\frac{n-4}{3}$．
b_n=-$（\frac{1}{3}）^{n-1}$．
（II）a_nb_n=（4-n）$•（\frac{1}{3}）^{n}$．
由a_nb_n≥0，解得n≤4．
t_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n，
∴数列{t_n}的最大项为t₃或t₄．
t₃=t₄=$3×\frac{1}{3}$+2×$（\frac{1}{3}）^{2}$+1×$（\frac{1}{3}）^{3}$=$\frac{34}{27}$．

点评 本题考查了递推关系、等差数列与等比数列的通项公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．