Question

10．在扇形AOB中，圆心角等于$\frac{π}{3}$，半径为4，在弧AB上有一动点P（不与点AB重合），过点P引平行于OB的直线和OA交于点C，设∠AOP=θ，求三角形POC的面积的最大值及此时θ的值．

Answer 1

分析 根据CP∥OB求得∠CPO和和∠OCP进而在△POC中利用正弦定理求得PC和OC，进而利用三角形面积公式表示出S，利用两角和公式化简整理后，利用θ的范围确定三角形面积的最大值．

解答 解：因为CP∥OB，所以∠CPO=∠POB=60°-θ，∴∠OCP=120°．
在△POC中，由正弦定理得CP=$\frac{4sinθ}{sin120°}$=$\frac{8}{\sqrt{3}}$sinθ．OC=$\frac{4sin（60°-θ）}{sin120°}$=$\frac{8}{{\sqrt{3}}}sin（{60°}-θ）$
三角形POC的面积S=$\frac{1}{2}$CP•OCsin120°=$\frac{1}{2}$•$\frac{8}{\sqrt{3}}$sinθ•$\frac{8}{{\sqrt{3}}}sin（{60°}-θ）$•$\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{8}{{\sqrt{3}}}sin（2θ+{30°}）-\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$，
所以当θ=30°，三角形POC的面积的最大值$\frac{{4\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题主要考查了三角函数的模型的应用．考查了考生分析问题和解决问题的能力．