Question

2．已知无穷等比数列{a_n}的前n项和S_n=$\frac{1}{{3}^{n}}$+a（n∈N^*），且a是常数，则此无穷等比数列的各项和为-1．（用数值作答）

Answer 1

分析 利用递推公式可得：a₁=S₁=$\frac{1}{3}$+a，n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$-\frac{2}{{3}^{n}}$．n=1时上式也成立，解得a．此无穷等比数列的各项和=$\frac{{a}_{1}}{1-q}$．

解答 解：∵S_n=$\frac{1}{{3}^{n}}$+a（n∈N^*），且a是常数，
∴a₁=S₁=$\frac{1}{3}$+a，n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{{3}^{n}}$+a-$（\frac{1}{{3}^{n-1}}+a）$=$-\frac{2}{{3}^{n}}$．
∵数列{a_n}是等比数列，∴n=1时上式也成立，∴$\frac{1}{3}+a$=-$\frac{2}{3}$，解得a=-1．
∴a₁=-$\frac{2}{3}$，公比q=$\frac{-\frac{2}{{3}^{2}}}{-\frac{2}{3}}$=$\frac{1}{3}$．
∴此无穷等比数列的各项和=$\frac{{a}_{1}}{1-q}$=$\frac{-\frac{2}{3}}{1-\frac{1}{3}}$=-1．
故答案为：-1．

点评 本题考查了无穷等比数列的求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．