Question

19．平面直角坐标系xOy中，双曲线C₁：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的渐近线与抛物线C₂：x²=2py（p＞0）交于点O，A，B．若△OAB的垂心为C₂的焦点，则C₁的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． 2
• D． $\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 由三角形垂心的性质，得BF⊥OA，即k_BF•k_OA=-1，由此可得C₁的离心率．

解答 解：联立渐近线与抛物线方程得A（$\frac{2pb}{a}$，$\frac{2p{b}^{2}}{{a}^{2}}$），B（-$\frac{2pb}{a}$，$\frac{2p{b}^{2}}{{a}^{2}}$），抛物线焦点为F（0，$\frac{p}{2}$），
由三角形垂心的性质，得BF⊥OA，即k_BF•k_OA=-1，
所以$（\frac{a}{4b}-\frac{b}{a}）\frac{b}{a}$-1，所以b=$\frac{\sqrt{5}}{2}$a，
所以c=$\frac{3}{2}$a，所以C₁的离心率为$\frac{3}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查双曲线的性质，联立方程组，根据三角形垂心的性质，得BF⊥OA是解决本题的关键，考查学生的计算能力．