Question

已知圆心为C（-2，6）的圆经过点M（0，6-2

3

）．
（Ⅰ）求圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线l过点P（0，5）且被圆C截得的线段长为4

3

，求直线l的方程；
（Ⅲ）是否存在斜率是1的直线l′，使得以l′被圆C所截得的弦EF为直径的圆经过原点？若存在，试求出直线l′的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：圆的标准方程,直线与圆的位置关系

专题：直线与圆

分析：（Ⅰ）先求出圆C的半径为|CM|的值，可得圆C的标准方程．
（Ⅱ）如图所示，设直线l与圆C交于A、B 两点，且D是AB的中点，在直角三角形ACD中，可得CD=2，即点C到直线l的距离为2．再分当所求直线l的斜率存在和直线l的斜率不存在两种情况，分别求得直线的方程．
（Ⅲ）假设存在直线l′满足题设条件，设l′的方程为y=x+m，可得 N（

4-m

2

，

m+4

2

），CN=

|m-8|

2

．
再由 CE²=CN²+EN²，化简得 m²-8m+20=0，根据方程m²-8m+20=0没有实数解，可得不存在满足题设条件的直线l′．

解答： 解：（Ⅰ）圆C的半径为|CM|=4，∴圆C的标准方程为 （x+2）²+（y-6）²=16．
（Ⅱ）如图所示，设直线l与圆C交于A、B 两点，且D是AB的中点，
则AB=4

3

，AD=2

3

且 CD⊥AB，
∵圆C的半径为4，即AC=4，
∴在直角三角形ACD中，可得 CD=

AC2-AD2

=2，即点C到直线l的距离为2．
（i）当所求直线l的斜率存在时，设所求直线的方程为y=kx+5，即kx-y+5=0，
由点到直线的距离公式得：

|-2k-6+5|

k2+1

=2，解得 k=

3

4

．
∴此时直线l的方程为3x-4y+20=0．
（ii）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=0．
将x=0代入圆C的方程化简可得（y-6）²=12，y=6±2

3

，∴弦长为4

3

，满足条件．
∴所求直线的方程为 3x-4y+20=0，或 x=0．
（Ⅲ）假设存在直线l′满足题设条件，设l′的方程为y=x+m，
则EF的中点N是两直线 y=x+m与y+6=-（x+2）的交点，即 N（

4-m

2

，

m+4

2

），
∴CN=

( 4-m 2 +2)2+( m+4 2 -6)2

=

|m-8|

2

．
∵以EF为直径的圆经过原点，∴OE⊥OF，∴EN=ON=

( 4-m 2 )2+( m+4 2 )2

．
又∵CN⊥EF，CE²=CN²+EN²，
∴(

4-m

2

)2+(

m+4

2

)2+(

|m-8|

2

)2=16，化简得 m²-8m+20=0，
∵方程m²-8m+20=0没有实数解，
∴不存在满足题设条件的直线l′．

点评：本题主要考查求圆的标准方程的方法，直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于中档题．