Question

定义在R上的函数f（x）满足f（1）=1，且对任意x∈R都有f′（x）＜

1

2

，则不等式f（x）＞

x+1

2

的解集为（　　）

• A、（1，2）
• B、（-∞，1）
• C、（1，+∞）
• D、（-1，1）

Answer 1

考点：函数的单调性与导数的关系

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：所求解的不等式是抽象不等式，是与函数有关的不等式，函数的单调性和不等关系最密切．由f′（x）＜

1

2

，构造单调递减函数h（x）=f（x）-

1

2

x，利用其单调性求解即可．

解答： 解：∵f′（x）＜

1

2

，
∴f′（x）-

1

2

＜0，
设h（x）=f（x）-

1

2

x，则h′（x）=f′（x）-

1

2

＜0，
∴h（x）是R上的减函数，且h（1）=f（1）-

1

2

=1-

1

2

=

1

2

．
不等式f（x）＞

x+1

2

，
即为f（x）-

1

2

x＞

1

2

，
即h（x）＞h（1），
得x＜1，
∴原不等式的解集为（-∞，1）．

点评：本题考查抽象不等式求解，关键是利用函数的导数判断单调性，根据已知条件和所要解的不等式，找到合适的函数作载体是关键．