Question

如图，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD为正方形，AE⊥平面CDE，已知AE=3，DE=4．
（Ⅰ）若F为DE的中点，求证：BE∥平面ACF；
（Ⅱ）求直线BE与平面ABCD所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）连接AC，BD交于O，连OF，由已知得OF∥BE，由此能证明BE∥平面ACF．
（Ⅱ）过E作EH⊥AD于H，连接BH，由已知和得∠EBH为BE与平面ABCD的所成角的平面角，由此能求出线BE与平面ABCD所成角的正弦值．

解答： （Ⅰ）证明：连接AC，BD交于O，连OF，
∵F为DE中点，O为BD中点，
∴OF∥BE，OF?平面ACF，BE?平面ACF，
∴BE∥平面ACF．
（Ⅱ）解：过E作EH⊥AD于H，连接BH，
∵AE⊥平面CDE，CD平面CDE，
∴AE⊥CD，
∵CD⊥AD，AE∩AD=A，AD、AE?平面DAE，
∴CD⊥平面DAE，EH?平面DAE，
∴CD⊥EH，CD∩AD=D，CD，
AD?平面ABCD，EH⊥平面ABCD，BH为BE在平面ABCD内的射影，
∴∠EBH为BE与平面ABCD的所成角的平面角，
在RT△EHB，由勾股定理得底面ABCD的边长AD=5．
又∵CD∥AB，
∴AB⊥平面DAE，
∴△ABE为直角三角形，
∴BE=

BA2+AE2

=

34

，且HE=

EA•ED

AD

=

12

5

，
在RT△EHB中，sin∠EBH=

HE

BE

=

12 5

34

=

6 34

85

．
直线BE与平面ABCD所成角的正弦值为

6 34

85

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．