Question

直线l：y=x-1与抛物线C：y²=2px（p＞0）相交于A，B两点，且l过C的焦点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若以AB为直径作圆Q，求圆Q的方程．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质,圆的标准方程

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）求出C的焦点，可得抛物线C的方程；
（2）直线l：y=x-1与抛物线联立，求出|AB|，Q的坐标，即可求圆Q的方程．

解答： 解：（1）直线l：y=x-1，令y=0可得x=1，
∴C的焦点（1，0），
∴抛物线C的方程y²=4x；                      …（6分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
直线l：y=x-1与抛物线联立可得x²-6x+1=0，…（9分）
由抛物线的定义可知，|AB|=x₁+x₂+p=8，
AB的中点坐标为（3，2），
∴圆Q的方程为（x-3）²+（y-2）²=16       …（13分）

点评：本题主要考查圆的方程，考查了抛物线的标准方程，以及过焦点的直线与抛物线相交的弦长等问题，属于中档题．