Question

如图，已知平行六面体的底面ABCD是菱形，且，（1）证明：；

（II）假定CD=2，，记面为α，面CBD为β，求二面角α -BD -β的平面角的余弦值；
（III）当的值为多少时，能使？请给出证明.

Answer 1

（1）证明见解析。
（II）
（III）当时，能使。证明见解析。

（I）证明：连结、AC，AC和BD交于.，连结，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BC=CD，可证，，
故，但AC⊥BD，所以，从而；　　　　　　　　　　　　
（II）解：由（I）知AC⊥BD，，是二面角α—BD—β的平面角，在中，BC=2，，，　　∵∠OCB=60°，，，故C₁O=，即C₁O=C₁C，作，垂足为H，∴点H是.C的中点，且，所以;
（III）当时，能使
证明一：∵，所以，又，由此可得，∴三棱锥是正三棱锥