Question

11．已知O为坐标原点，过点P（0，2）的直线l与椭圆x²+2y²=2相交于不同的点A，B，求△OAB面积S的最大值．

Answer 1

分析 由题意设直线l的方程以及点A、B的坐标，利用直线方程与椭圆方程组成方程组，消去y，由判别式△＞0，利用根与系数的关系和基本不等式，即可求出△OAB面积的最大值．

解答 解：由题意可设直线l的方程为y=kx+2，以及点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁、x₂是方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{{x}^{2}+{2y}^{2}=2}\end{array}\right.$消去y，
所得方程（2k²+1）x²+8kx+6=0的两个不等实数根；
故有△=（8k）²-24（2k²+1）=8（2k²-3），
且x₁+x₂=-$\frac{8k}{{2k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{6}{{2k}^{2}+1}$；
由题意可知△OAB面积为
S=|S_△OPA-S_△OPB|=|$\frac{1}{2}$|OP|•|x₁|-$\frac{1}{2}$|OP|•|x₂||=||x₁|-|x₂||；
由x₁x₂=$\frac{6}{{2k}^{2}+1}$＞0，
知S=||x₁|-|x₂||=|x₁-x₂|=$\sqrt{{{（x}_{1}{+x}_{2}）}^{2}-{{4x}_{1}x}_{2}}$，
从而可得：
S=$\sqrt{{（-\frac{8k}{{2k}^{2}+1}）}^{2}-4•\frac{6}{{2k}^{2}+1}}$
=$\frac{\sqrt{2}•\sqrt{4}•\sqrt{{2k}^{2}-3}}{{2k}^{2}+1}$≤$\frac{\sqrt{2}}{{2k}^{2}+1}$•$\frac{4+（{2k}^{2}-3）}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
当且仅当2k²-3=4（此时的实数k满足△=8（2k²-3）＞0）时，
S取得最大值$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了直线与椭圆的方程的应用问题，也考查了三角形面积的计算问题以及根与系数的关系和基本不等式的应用问题，是综合性题目．