Question

16．己知a=${∫}_{0}^{π}$（sinx-1+2cos²$\frac{x}{2}$）dx，如图，若三棱锥P-ABC的最长的棱PA=a，且PB⊥BA，PC⊥AC，则此三棱锥的外接球的体积为（　　）

• A． $\frac{16π}{3}$
• B． $\frac{4π}{3}$
• C． π
• D． $\frac{π}{3}$

Answer 1

分析 根据已知可得三棱锥的外接球的直径为2，进而求出球半径，代入球的体积公式，可得答案．

解答 解：由a=${∫}_{0}^{π}$（sinx-1+2cos²$\frac{x}{2}$）dx=${∫}_{0}^{π}$（sinx+cosx）dx=（sinx-cosx）|${\;}_{0}^{π}$=2，
∴PA=2，
∵PB⊥BA，PC⊥AC，
∴三棱锥的外接球的球心为PA的中点，三棱锥的外接球的半径为1，
∴三棱锥的外接球的体积为$\frac{4}{3}$π．
故选：B．

点评 本题考查的知识点是球的体积与表面积，根据已知得到球的半径，是解答的关键．